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在人類與傳染病作斗爭的漫長歷史中，除了在一線救死扶傷的醫(yī)生，還有一個特殊的群體為遏制疾病蔓延做出了重要的貢獻，那就是數(shù)學家。

在大多數(shù)人印象中，數(shù)學是抽象而晦澀的，似乎和公共衛(wèi)生完全搭不上關系。事實上，大家在面對傳染病時遇到的問題，比如為什么接觸過患病者的人需要被隔離、疫情爆發(fā)1個月后有多少人被感染、拐點什么時候能夠到來，都或多或少可以從數(shù)學模型的角度來做出預測和解讀。也正是依靠數(shù)學家對于傳染病抽象化的研究，人們對于傳染病的傳播模式和嚴重危害有了更為深刻的認識。

對傳染病建模的歷史

用數(shù)學模型研究傳染病的做法，最早可以追溯到18世紀初。那時候天花病毒正在肆虐歐洲，人們發(fā)現(xiàn)東方傳入的人痘接種術似乎能夠治愈這種疾病，但接種后仍有很高的死亡率，這引起了大數(shù)學家丹尼爾·伯努利（Johann Bernoulli）的注意。伯努利是流體力學的祖師爺，同時也學過一點醫(yī)學，聽說了天花接種的療法后，他便開始琢磨怎么用數(shù)學去描述天花的傳播以及接種的功效。

數(shù)學家丹尼爾·伯努利 | Wikimedia Commons

受限于時代，伯努利的想法比較樸素，他將人群分成感染者與未感染者，感染者既有可能治愈變成未感染者，也會因病死亡。伯努利的高明之處在于，他考慮了人的年齡也就是時間因素，假定疾病治愈率與研究人群的年齡段相關，以此建立了數(shù)學方程。

伯努利的模型類似于后來的SI模型

是最為簡單的傳染病模型之一 | 參考資料[3]

經(jīng)過一番計算研究，伯努利得出結論：盡管有一定風險，人痘接種在統(tǒng)計上仍然能讓人的壽命延長3年左右。

雖然以現(xiàn)在的眼光看，伯努利的研究一點也不嚴謹，得出的結論也是顯而易見的（接種疫苗有助于控制疾病傳播），人痘接種術在牛痘疫苗出現(xiàn)后也幾乎銷聲匿跡，但伯努利是第一個嘗試用數(shù)據(jù)和方程去分析傳染病傳播趨勢、判斷控制措施有效性的數(shù)學家，這種科學思維在那個人類完全被傳染病支配的時代顯得尤為珍貴，直到今天仍然是用數(shù)學方法研究傳染病的最基本思想。

牛痘疫苗為人類消滅天花做出了重要貢獻 | The Conversation

100多年后的20世紀初，用數(shù)學模型研究傳染病的方法（后來發(fā)展為一門叫“數(shù)理流行病學”的學科）迎來了飛速發(fā)展，這很大程度上要歸功于蘇格蘭軍醫(yī)麥肯德里克（Anderson Gray McKendrick）和生物化學家威廉·克馬克（William Kermack）。

提出SIR模型的麥肯德里克和克馬克 | 參考資料[4]

麥肯德里克曾在印度服役，當時印度鼠疫橫行，奪去了數(shù)十萬人的生命。然而與大多數(shù)醫(yī)生鉆研醫(yī)術不同，麥肯德里克竟然“不務正業(yè)”，把很多心思放在了研究數(shù)學方程上，并發(fā)現(xiàn)鼠疫的感染人數(shù)趨勢和數(shù)學的某些函數(shù)曲線非常相像。

從印度回國后，他與生物化學家威廉·克馬克（William Kermack）合作，開始對鼠疫爆發(fā)的患病人數(shù)、患者生存天數(shù)等數(shù)據(jù)進行分析，最終提出了數(shù)理流行病學中里程碑式的模型：SIR模型。直到今天，絕大多數(shù)從數(shù)學角度分析傳染病的研究都或多或少有這個模型的影子。

西班牙流感等傳染病在20世紀初肆虐全球

造成數(shù)以億計的傷亡 | Wikimedia Commons

如何用SIR模型描述傳染病？

SIR模型的基本概念并不難，即使完全沒學過數(shù)學也能看懂：

S代表Susceptible，易感者，也就是可能被傳染但還沒有感染的人；

I代表Infected，感染者，即已經(jīng)被傳染但尚未死亡的人；

R代表Removed，移除者，他們有可能被感染后痊愈了，也有可能是因病死亡。

當然還有一個樣本人數(shù)不變的假設，也就是易感者+感染者+移除者的人數(shù)之和假定不變。

SIR模型示意圖 | Perception Heallth

有了這樣一個數(shù)學模型，我們需要研究三個群體隨時間的變化趨勢——比如說，第1天有了3個感染者，到了第10天會有多少人感染？因痊愈或死亡產(chǎn)生的移除者又會有多少個？

為了求出不同人群與時間的關系式，數(shù)學家引入了一組微分方程。它看起來很復雜，但這個唬人的玩意兒本質上和解“2+x=4”是一個道理，數(shù)學家的任務就是解出這個復雜方程里的S、I、R與時間t的關系函數(shù)。

SIR模型的數(shù)學方程 | 參考資料[5]

微分方程解出來的結果不一定能用數(shù)學式子來表示，一般來說我們更習慣用下面這樣的圖像表示SIR模型的傳染趨勢：橫軸代表時間，縱軸代表群體的人數(shù)。你可以很直觀的看到，I代表的感染者數(shù)量隨時間迅速增長，S代表的易感者相應變少，最后的結果是大部分被“移除”了（可能是治愈或者是病死），不再存在感染者。

SIR模型給出的傳播趨勢 | 參考資料[5]

SIR模型非常簡潔，計算得出的傳染趨勢也在印度鼠疫的實例中得到了一定程度的印證。然而SIR模型畢竟只是一個基礎模型，它的缺陷也是非常明顯的——許多傳染病存在潛伏期，感染后可能在一段時間內，人體都沒有異常癥狀，而把人群劃分為三種類型，沒有考慮群體內部的差異，比如感染者的潛伏期會因人而異；另外，部分感染者（包括疑似感染者）確診后會被隔離，傳染他人的概率比原先降低了很多。

考慮到這些因素，SIR模型衍生出了SEIR、C-SEIR等多個變種模型，從而能更為精確地描述傳染病的傳播趨勢。一般來說，各種傳染病都有對應的模型進行描述，比如說HIV病毒，一旦感染便終身帶有傳染性，類似于當初伯努利提出的SI模型；而像SARS和最近的新型冠狀病毒，用SEIR模型來描述它們的傳播會更準確一些。

SEIR模型圖示 E代表 Exposed 潛伏者 | 參考資料[6]

數(shù)學建模的作用

說到底，我們?yōu)槭裁匆敕皆O法找到準確的數(shù)學模型來描述傳染病呢？最重要的一個原因是，我們希望以此定量評估可能的感染人數(shù)和感染速度，并且分析出更為有效的防疫治疫措施。

在家隔離，是大家近來最熟悉的防疫措施，怎樣用數(shù)學模型證明隔離能有效控制疫情傳播呢？不妨假設有一個1000人的群體，其中有一個人不幸感染病毒后開始傳播。在COSMOL等仿真軟件里輸入SIR模型的數(shù)學方程，可以得到下圖的結果：未感染病毒的人數(shù)（藍色曲線）不斷下降，疫情在第五天達到頂峰，感染者數(shù)量（綠色曲線）達到總人數(shù)將近一半。

無隔離措施下，SIR模型對病毒傳播的模擬結果 | 參考資料[7]

然而，如果對80%的感染者采取隔離措施，也就是視為不再感染其他人的移除者（紅色曲線），得到的疫情趨勢圖會發(fā)生很明顯的變化——疫情在第六天達到頂峰，感染者的數(shù)量只會有不到200人，出現(xiàn)了大幅下降，這也就從數(shù)學角度證明了乖乖宅在家里對于控制傳染病的重要性。[7]

對80%感染者采取隔離措施后，SIR模型得到模擬結果 | 參考資料[7]

數(shù)學模型也能對不同的疾病控制措施的效果進行評估。2013年埃博拉疫情在非洲爆發(fā)，英國開始對來自高風險國家的入境人員進行篩查。然而有團隊在建立數(shù)學模型后發(fā)現(xiàn)，只有7%的埃博拉感染者可能在國家邊境被發(fā)現(xiàn)，加上病毒潛伏期也比較長，病毒攜帶者初期可能并沒有表現(xiàn)出任何癥狀，最有效的措施還是在病毒發(fā)源地對感染者（以及疑似感染者）進行隔離來遏制病毒傳播。正是通過這樣的方式，數(shù)學模型在遏制傳染病傳播起到了越來越重要的作用。

參考文獻

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_modelling_of_infectious_disease

[2]https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Bernoulli,_Daniel

[3]https://institutefordiseasemodeling.github.io/Documentation/general/model-si.html

[4]http://devingaffney.com/when-physicists-talk-about-cat-gifs/

[5]Luz P M , Struchiner C J , Galvani A P , et al. Modeling Transmission Dynamics and Control of Vector-Borne Neglected Tropical Diseases[J]. PLoS Neglected Tropical Diseases, 2010, 4(10):e761.

[6]Audrey M. Dorélien, Ballesteros S , Grenfell B T . Impact of Birth Seasonality on Dynamics of Acute Immunizing Infections in Sub-Saharan Africa[J]. PLOS ONE, 2013, 8.

[7]https://cn.comsol.com/blogs/analyze-the-spread-of-epidemic-diseases-with-simulation/

[8]http://news.sciencenet.cn/dz/dznews_photo.aspx?t=&id=34011

作者：矩陣星

編輯：李小葵

題圖來源：參考資料[4]

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原標題：《數(shù)學模型是怎樣描述傳染病的？別擔心，數(shù)學沒學好也能看懂》

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